Erfolgreich investieren mit Fraktalen

Um Risiken, Produkte und Anlagestrategien einzuschätzen, benutzt die Finanzindustrie weiterhin viele alte Modelle. Besonders prominent ist die auf Markowitz zurückgehende Moderne Portfoliotheorie (MPT) und die auf ihr basierenden Theorien und Modelle wie die Arbitragepreistheorie, das Capital Asset Pricing Model (CAPM) und das Single-Index-Modell (SIM).

Die vorherrschenden Modelle werden aber regelmässig hinterfragt, besonders heftig nach grösseren Turbulenzen an den Börsen. Die globale Finanzkrise ab 2008 war ein solches Ereignis, das viele Marktteilnehmer auf dem falschen Fuss erwischt hat. Aber auch viele kleinere Marktereignisse wie etwa der Schweizer Frankenschock vom 15. Januar 2015 zeigen die Grenzen von althergebrachten Finanzmodellen auf.

Einer der prominentesten Kritiker der MPT und verwandter «Standard-Modelle» war der Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924-2010). Als Begründer der fraktalen Geometrie interessierte er sich auch für Phänomene ausserhalb der Mathematik, die er mit seinen neuen Instrumenten interpretierte. Viel Zeit widmete er etwa der Analyse von Finanzmärkten.

Kritik an den Standardmodellen

Mandelbrot kritisiert nicht die Mathematik der finanztheoretischen Standardmodelle (also die MPT und ihre wichtigsten Weiterentwicklungen), sondern die ihr zugrundeliegenden Annahmen. Die Standardtheorie gehe von falschen Behauptungen über Anleger und Märkte aus. Märkte verhalten sich laut Mandelbrot turbulent, sind unsicher und lassen sich nicht in die verbreiteten Standardmodelle pressen. Das sind drei seiner wichtigsten Einwände gegen die geläufigen Theorien:

1. Anleger handeln oft irrational

Standardmodelle gehen davon aus, dass Anleger rational handeln und ausschliesslich den eigenen Gewinn maximieren möchten. Mandelbrot kritisiert, dass irrationales und nicht gewinnorientiertes Verhalten nicht berücksichtigt wird, obwohl es die Preisbildung erheblich beeinflussen kann.

2. Es gibt extreme Kursänderungen

Die MPT und darauf aufbauende Theorien wie das CAPM berufen sich auf die Normalverteilungsannahme für Wertpapierrenditen. Diese besagt, dass das Risiko der Gaussschen Glockenkurve folgt. Das wiederum bedeutet, dass extreme Kursänderungen nur sehr selten vorkommen. Diese Theorie entspricht jedoch nicht der Realität: In Wirklichkeit kommt es an den Märkten wesentlich häufiger zu extremen Veränderungen, als es bei einer Gauss-Verteilung der Fall wäre.

So sollten sich tägliche Indexänderungen des Dow Jones von mehr als 7 Prozent nur alle 300'000 Jahre ereignen, wenn die Veränderungen normalverteilt wären. Tatsächlich aber gab es allein im 20. Jahrhundert 48 solche Tage.

3. Kursänderungen sind voneinander abhängig

Standardmodelle setzen einen vollkommenen Kapitalmarkt voraus. An einem vollkommenen Kapitalmarkt werden alle für ein Wertpapier relevanten Informationen in seinem Kurs berücksichtigt. Vergangene Kursänderungen beeinflussen künftige Kursänderungen nicht.

Laut Mandelbrot besitzen viele Kurstabellen des Finanzsektors eine Art «Gedächtnis». Eine Zeitspanne mit heftigen Kursausschlägen erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass darauf weitere heftige Ausschläge folgen. Zu beachten ist, dass sich die Abhängigkeit nicht auf die Kursrichtung (steigende und fallende Kurse), sondern nur auf die Volatilität (Ausmass der Preisschwankungen) von Kursen bezieht.

Was ist eigentlich ein Fraktal?

Ein Fraktal ist ein Muster oder eine Form, deren Teile ein Abbild des Ganzen sind. Sie sind in der Regel in einem hohen Mass selbstähnlich, das heisst das Kleine widerspiegelt sich in fraktalen Strukturen im Grossen und umgekehrt.

Beispiel für ein Fraktal.

Gebilde, die Fraktalen ähneln, gibt es auch in der Natur. So können Küstenlinien und Bergformationen durch Fraktale nachgebildet werden. Auch Börsenkurse können durch Fraktale simuliert werden. Ein Fraktal, das an unterschiedlichen Stellen auf unterschiedliche Weise den Massstab ändert, bezeichnet Mandelbrot als multifraktal.

Mandelbrot entwickelte computergestützte multifraktale Modelle für die Simulation und Prognose von Kursänderungen verschiedener Wertpapiere. Interessanterweise findet man oft die gleichen Muster vor, unabhängig davon, über welche Zeitspanne man einen Kurs betrachtet.

Praktische Erkenntnisse

Mandelbrot sucht in seinen Analysen nicht nach den genauen Ursachen der Kursveränderungen. Als Analogie kann ein Auto dienen: Sie müssen nicht wissen, wie ein Auto funktioniert, um es fahren zu können. Auf die Märkte übertragen heisst das: Sie müssen nicht wissen, warum sich die Märkte so verhalten, wie sie sich verhalten, um die Kurse erfolgreich deuten zu können. Sie können beispielsweise feststellen, dass sich die Kurse oft turbulent verhalten, ohne zu wissen, warum das so ist.

Das sind fünf der wichtigsten praktischen Erkenntnisse von Mandelbrots fraktaler Finanztheorie:

1. Turbulenzen bestimmen den Markt

Finanzexperten raten Anlegern gewöhnlich, ihre Wertpapiere gut zu diversifizieren, nach dem Kauf lange zu halten und sich damit am Durchschnittskurs zu orientieren. Nach Mandelbrots Meinung wird diese Strategie allerdings der turbulenten Natur der Märkte nicht gerecht. Diese werden stark von einzelnen, speziellen Ereignissen geprägt. Erfolgreiche Anlegerinnen und Anleger erzielen ihre Gewinne oftmals nicht über langfristige Durchschnittsrenditen, sondern innerhalb kürzester Frist – weil sie das richtige Timing hatten.

2. Kurse springen

Menschen sehen in Prozessen und Ereignissen oft Kontinuität – auch wenn keine vorhanden ist. Auch die vorherrschenden ökonomischen Modelle gehen von kontinuierlichen und «glatten» Kursübergängen aus. Bei stark springenden und fallenden Kursen funktionieren diese Modelle nicht und sind deshalb falsch, so Mandelbrot.

Auf dem Markt können selbst scheinbar unbedeutende Nachrichten oder Stimmungsumschwünge zu heftigen Kursausschlägen führen. Diese Ausschläge werden durch die wachsende Flut von Nachrichten und ihre augenblickliche Übermittlung im Internet-Zeitalter noch intensiviert.

3. Börsenzeit ist relativ

Populäre Theorien wie das CAPM gehen von einem durchschnittlichen Anleger aus und berücksichtigen nicht, dass Wertpapiere je nach Anleger ganz unterschiedlich lange gehalten werden. Im Gegensatz dazu bedienen sich Mandelbrots Modelle einer Funktion, die die Handelszeit anders verteilt, als es in den Standardmodellen geschieht. An manchen Stellen wird die Zeit gedehnt, an anderen zusammengestaucht. Dadurch können extreme Kursanstiege und Kursstürze besser berücksichtigt werden. Je nach Zeithorizont des Anlegers variiert auch das Risiko.

4. Chartanalysen sind häufig irrelevant

Gemäss Mandelbrot sind in den meisten Kursdaten langfristige Abhängigkeiten vorhanden. Diese führen tendenziell zu Kursänderungen innerhalb einer bestimmten Grössenordnung – aber nicht zu bestimmten (nicht-fraktalen) Mustern im Kursniveau. Den Aussagen von «Chartisten» sollte man deshalb nicht zu viel Bedeutung beimessen.

5. Volatilität ist nicht nur zufällig

Gemäss Mandelbrot lassen sich Volatilität und Risiken teilweise abschätzen, auch wenn die genauen Kurse nicht prognostizierbar sind. Aus vergangenen Kursanstiegen kann man nicht auf künftige schliessen. Es gibt aber eine Tendenz, dass auf starke Kurssprünge abermalig starke Änderungen in den Kursen folgen. Volatilitätsvorhersagen sind vergleichbar mit Wetterprognosen.

Erfolgreich an der Börse dank Fraktalen?

Mandelbrots Erkenntnisse über Fraktale sind zwar auch in Expertenkreisen auf breite Resonanz gestossen. Trotzdem befindet sich die fraktale Finanz- und Wirtschaftsanalyse noch in den Kinderschuhen. Es steht in den Sternen, ob allein mit fraktalen Finanztechniken je Portfolios mit überdurchschnittlichen Renditen zusammengestellt werden können.

Immerhin lassen sich die erwähnten Volatilitätsprognosen nutzen. So sind Trader, die auf Volatilität mittels Optionen oder anderer Instrumente wetten, mit fraktalen Modellen zumindest in der Theorie besser ausgerüstet als mit Standardmodellen.

Auch sollen auf fraktalen Modellen basierende Warn-Indizes kurzfristig vor drohenden «Börsenstürmen» warnen können. Ähnlich wie in der Meteorologie nimmt aber die Aussagekraft mit zunehmender zeitlicher Distanz zum Ereignis ab.

Weiterführende Informationen:
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